Sparse Table

Sparse Table RMQ (range minimum/maximum query) টাইপ প্রবলেম সল্ভ করতে কাজে লাগে। একটি Array ‘A’ তে কিছু নাম্বার দেয়া আছে। এখন বলা হল কুয়েরি i to j রেঞ্জ দেয়া হবে, বলতে হবে এই রেঞ্জে এর মধ্যে মিনিমাম নাম্বার কত। এখন Brute force way তে করলে worst case complexity যাবে O(Q*N)। কিন্তু Sparse Table দিয়ে O(N log N) এ pre calculation করে O(1) এ প্রতি কুয়েরির answer দেয়া যায়।

Sparse Table:

Sparse Table এ Array প্রতিপজিশন থেকে তার 2 এর power এর length পর্যন্ত result সেভ করে রাখা হয়।এর ফলে, “যেকোন নাম্বারকে 2 এর power এর যোগফল হিসেবে লিখা যায়।” এই property use করে sparse table থেকে সহজে result calculation করা যায়।

Array A[]={10, 1, 3, 20, 25, -5, 6, -10, 11, 8} এর minimum range query জন্য sparse table ST হবে এমন,

Square Root Decomposition

problem: একটি N size এর Array তে কিছু নাম্বার দেয়া হল। এখন প্রতিবার x থেকে y রেঞ্জ এর মধ্যে কুয়েরি করে বের করতে হবে minimum নাম্বার কত।
এখন একদম brute force উপায়ে যদি বের করি তাহলে complexity হবে প্রতি query তে x to y iterate করতে হবে. Array size যদি N হয় এবং query যদি N টা হয়। তাহলে worst case complexity হচ্ছে O(N²)। যা খুবই costly.

Square root decomposition:

এখন total Array কে square root size block এ ভাগ করতে হবে।
Array size যদি N হয় তাহলে পুরো Array কে √N size block এ ভাগ করে নিব। এবং প্রতি Block এ √N টা element এর result থাকবে। square root যদি perfect না হয়, তাহলে একদম শেষ Block এ square root থেকে কম element এর রেজাল্ট থাকবে।

এখন যদি 100 size এর একটা Array কে square root decompose করা হয় তাহলে, total block size হবে √100=10 এবং প্রতি Block এ থাকবে 10 টা element এর result.